Question

已知直线l：y=x+3与双曲线

x2

9

-

y2

4

=1相交于A，B两点，线段AB中点为M，则OM的斜率为（　　）

• A、-

  5

  9

• B、-

  4

  9

• C、

  5

  9

• D、

  4

  9

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：联立直线y=x+3与双曲线

x2

9

-

y2

4

=1，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得AB中点M的坐标，再由直线的斜率公式计算即可得到．

解答： 解：联立直线y=x+3与双曲线

x2

9

-

y2

4

=1，
消去y，可得4x²-9（x+3）²=36，
即为5x²+54x+117=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

54

5

，
即有AB的中点的横坐标为-

27

5

，
可得AB的中点M坐标为（-

27

5

，-

12

5

），
即有OM的斜率为

- 12 5

- 27 5

=

4

9

．
故选D．

点评：本题考查双曲线方程的运用，主要考查直线方程和双曲线方程联立，运用韦达定理，由中点坐标公式和直线的斜率公式是解题的关键．