Question

已知抛物线y²=4x与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A，B是两曲线的交点，若（

OA

+

OB

）•

AF

=0，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  2

  +2
• B、

  5

  +1
• C、

  3

  +1
• D、

  2

  +1

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出抛物线的焦点（1，0），即有双曲线的两个焦点，设A（m，n），B（m，-n）（m＞0，n＞0），运用向量的数量积的定义可得m=1，n=2，再由双曲线的定义可得a，运用离心率公式计算即可得到．

解答： 解：由抛物线y²=4x的焦点F（1，0），
可得双曲线的焦点为F（1，0）和F'（-1，0），
设A（m，n），B（m，-n）（m＞0，n＞0），
则

AF

=（1-m，-n），
由（

OA

+

OB

）•

AF

=0，
即为2m（1-m）+0=0，
解得m=1（0舍去），
即有A（1，2），
由双曲线的定义可得|AF'|-|AF|=2a，
即为2

2

-2=2a，
即a=

2

-1，
由e=

c

a

=

1

2 -1

=

2

+1．
故选D．

点评：本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，主要考查双曲线的定义和离心率的求法，同时考查向量的数量积的坐标表示，属于中档题．