Question

已知函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），当x=-

π

3

时取得最小值-4．
（I）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若等差数列{a_n}前n项和为S_n，且a₂=f（0），a₄=f（

π

6

），求数列{

1

Sn

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由x=-

π

3

时取得最小值-4，可知A值及关于φ的方程，由其范围可求得φ值；
（Ⅱ）易求a₄=4，a₂=2，从而可得S_n，利用裂项相消法可求得T_n．

解答：解（I）由x=-

π

3

时取得最小值-4，
∴-4=4sin（-2×

π

3

+φ），
∴sin（-

2π

3

+φ）=-1，
又∵0＜φ＜π，∴φ=

π

6

，
∴f（x）=4sin（2x+

π

6

），
（Ⅱ）∵a₂=f（0），a₄=f(

π

6

)，
∴a₄=4，a₂=2，
设等差数列公差为d，则d=1，a₁=1，a_n=n，
∴S_n=

n(n+1)

2

，
∴T_n=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

1×2

+

2

2×3

+…+

2

n(n+1)

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

．

点评：此题考查了y=Asin（ωx+φ）解析式的确定以及特殊角的三角函数值，其中确定出已知三角函数的解析式是解本题的关键．