Question

已知函数f（x）=ax³+bx+c在点x=2处取得极值c-16。
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[-3，3]上的最小值。

Answer 1

解：（1）由题f（x）=ax³+bx+c，可得f′（x）=3ax²+b，
又函数在点x=2处取得极值c-16
∴，即，
化简得解得a=1，b=-12。
（2）由（1）知f（x）=x³-12x+c，f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2）
令f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2）=0，
解得x₁=-2，x₂=2
当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＞0，故f（x）在∈（-∞，-2）上为增函数；
当x∈（-2，2）时，f′（x）＜0，故f（x）在（-2，2）上为减函数；
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上为增函数；
由此可知f（x）在x₁=-2处取得极大值f（-2）=16+c，f（x）在x²=2处取得极小值f（2）=c-16，
由题设条件知16+c=28得，c=12
此时f（-3）=9+c=21，f（3）=-9+c=3，f（2）=-16+c=-4
因此f（x）在[-3，3]上的最小值f（2）=-4。