Question

20．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=-f（x），且当x∈（-1，1]时，f（x）=|x|，函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}sinπx，x＞0\\-\frac{1}{x}，x＜0\end{array}$，则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]上的零点的个数为（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． 10
• D． 11

Answer 1

分析 由已知可得函数y=f（x）是周期为2的周期函数，结合当x∈（-1，1]时，f（x）=|x|，函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}sinπx，x＞0\\-\frac{1}{x}，x＜0\end{array}$，作出在区间[-5，5]上f（x）与g（x）的图象，数形结合可得函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]上的零点的个数．

解答 解：由f（x+1）=-f（x），得f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x），
∴f（x）是以2为周期的周期函数，又当x∈（-1，1]时，f（x）=|x|，
∴作出函数y=f（x）与y=g（x）的图象如图：

由图可知，函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]上的零点的个数为9个．
故选：B．

点评 本题考查根的存在性与根的个数判断，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．