Question

10．已知圆M：（x-3）²+（y-3）²=4，E，F分别为圆内接正△ABC的边AB，BC的中点，当△ABC绕圆心M转动时，则$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{OF}$（O为坐标原点）的取值范围是（　　）

• A． $[{-\frac{1}{2}-6\sqrt{2}，-\frac{1}{2}+6\sqrt{2}}]$
• B． [-6，6]
• C． $[{-\frac{1}{2}-3\sqrt{2}，-\frac{1}{2}+3\sqrt{2}}]$
• D． [-4，4]

Answer 1

分析 运用向量的三角形法则，结合向量的数量积的定义，可得$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{OF}$=-$\frac{1}{2}$-$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{MO}$，再由向量的数量积定义及余弦函数的值域即可得到$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{OF}$（O为坐标原点）的取值范围．

解答 解：由题意可得$\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{MF}$，
∴$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{ME}$•（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{MF}$）=$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{MF}$=$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{OM}$+|$\overrightarrow{ME}$||$\overrightarrow{MF}$|cos120°
=-$\frac{1}{2}$-$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{MO}$，
由于圆M：（x-3）²+（y-3）²=4，则圆心M（3，3），半径r=2，
则OM=3$\sqrt{2}$，ME=1，
可得$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{MO}$=1×3$\sqrt{2}$cos＜$\overrightarrow{ME}$，$\overrightarrow{MO}$＞∈[-3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$]，
故$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{OF}$（O为坐标原点）的取值范围是[-$\frac{1}{2}$-3$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$+3$\sqrt{2}$]．
故选C．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦函数的值域，