Question

1．求与椭圆9x²+5y²=45有共同的焦点，且经过点M（2，$\sqrt{6}$）的椭圆的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$．

Answer 1

分析 将椭圆方程转化标准方程：$\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{5}=1$，椭圆的焦点在y轴，c=2，设椭圆方程：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-4}=1$，将M（2，$\sqrt{6}$）代即可求得a的值，即可求得椭圆方程．

解答 解：椭圆9x²+5y²=45化成标准方程，得$\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{5}=1$，
∴椭圆的焦点在y轴，且c²=9-5=4，得c=2，焦点为（0，2），（0，-2）．
∵所求椭圆经过点M（2，$\sqrt{6}$）且与已知椭圆有共同的焦点，
∴设椭圆方程：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-4}=1$，将M（2，$\sqrt{6}$）代入$\frac{6}{{a}^{2}}+\frac{4}{{a}^{2}-4}=1$，
解得：a²=12，
因此所求的椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$，
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的焦点的求法，考查计算能力，属于中档题．