Question

已知函数f（x）=alnx+bx²图象上点P（1，f（1））处的切线方程为2x-y-3=0．
（I）求函数y=f（x）的解析式；
（II）函数g（x）=f（x）+m-ln4，若方程g（x）=0在[

1

e

，2]上恰有两解，求实数m的取值范围．

Answer 1

（I）求导函数可得f′(x)=

a

x

+2bx（x＞0）
∵函数f（x）=alnx+bx²图象上点P（1，f（1））处的切线方程为2x-y-3=0
∴f′（1）=2，f（1）=-1
∴

a+2b=2 b=-1

∴a=4，b=-1
∴f（x）=4lnx-x²；
（II）函数g（x）=f（x）+m-ln4=4lnx-x²+m-ln4（x＞0），则g′(x)=

4

x

-2x（x＞0）
∴当x∈[

1

e

，

2

)时，g′（x）＞0；当x∈(

2

，2]时，g′（x）＜0；
∴函数在[

1

e

，

2

)上单调增，在(

2

，2]上单调减
∵方程g（x）=0在[

1

e

，2]上恰有两解，
∴g(

1

e

)≤0，g(

2

)＞0，g(2)≤0
∴

-4- 1 e2 +m-ln4≤0 -2+m＞0 4ln2-4+m-ln4≤0

解得2＜m≤4-2ln2