Question

12．已知cosα=$\frac{1}{2}$，cos（α+β）=-$\frac{11}{14}$，且α∈（0，$\frac{π}{2}$），α+β∈（$\frac{π}{2}$，π），求cosβ的值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系、求得sinα 和sin（α+β）的值，再利用两角差的余弦公式求得 cosβ=cos[（α+β）-α]的值．

解答 解：根据cosα=$\frac{1}{2}$，cos（α+β）=-$\frac{11}{14}$，且α∈（0，$\frac{π}{2}$），α+β∈（$\frac{π}{2}$，π），
可得sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sin（α+β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+β）}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinα=-$\frac{11}{14}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{5\sqrt{3}}{14}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{7}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式的应用，属于基础题．