Question

6．已知函数f（x）满足f（x+1）+f（1-x）=0，f（x+2）-f（2-x）=0且f（$\frac{2}{3}$）=1，则f（$\frac{1000}{3}$）=-1．

Answer 1

分析 求出函数的周期，利用f（$\frac{2}{3}$）=1，求解f（$\frac{1000}{3}$）即可．

解答 解：f（x+1）+f（1-x）=0 得f（x+1）=-f（1-x） 则f（x）=f（x-1+1）=-f[1-（x-1）]=-f（2-x） 又由f（x+2）-f（2-x）=0 得f（2-x）=f（x+2）则f（x）=-f（x+2）则T=4．f（$\frac{2}{3}$）=1，
则f（$\frac{1000}{3}$）=f（333+$\frac{1}{3}$）=f（1+$\frac{1}{3}$）=-f（1-$\frac{1}{3}$）=-f（$\frac{2}{3}$）=-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力．