Question

15．欧位在1748年给出的著名公式e^iθ=cosθ+isinθ（欧拉公式）是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e=2.71828…，根据欧拉公式e^iθ=cosθ-isinθ．任何一个复数z=r（cosθ+isinθ）都呆以表示成z=re^iz的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z₁=2eⁱ${\;}^{\frac{π}{3}}$，z₂=eⁱ${\;}^{\frac{π}{2}}$，则复数z=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$在复平面内对应的点在（　　）

• A． 第一象限
• B． 第二象限
• C． 第三象限
• D． 第四象限

Answer 1

分析 复数z₁=2eⁱ${\;}^{\frac{π}{3}}$=2$（cos\frac{π}{3}+isin\frac{π}{3}）$=1+$\sqrt{3}$i，z₂=eⁱ${\;}^{\frac{π}{2}}$=$cos\frac{π}{2}+isin\frac{π}{2}$=i，再利用复数的运算法则、几何意义即可得出．

解答 解：复数z₁=2eⁱ${\;}^{\frac{π}{3}}$=2$（cos\frac{π}{3}+isin\frac{π}{3}）$=1+$\sqrt{3}$i，z₂=eⁱ${\;}^{\frac{π}{2}}$=$cos\frac{π}{2}+isin\frac{π}{2}$=i，
则复数z=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$=$\frac{1+\sqrt{3}i}{i}$=$\frac{-i（1+\sqrt{3}i）}{-ii}$=$\sqrt{3}$-i在复平面内对应的点$（\sqrt{3}，-1）$在第四象限．
故选：D．

点评 本题考查了复数的指数与三角函数形式、复数的运算法则几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．