Question

4．已知抛物线C顶点在原点，关于x轴对称，且经过P（1，2）．
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程及准线方程；
（Ⅱ）已知不过点P且斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，若AB为直径的圆经过点P，试求直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）由题意可设抛物线的标准方程为：y²=2px（p＞0），把点P（1，2）代入解得p．可得抛物线C的标准方程及其准线方程．
（II）时直线l的方程为：y=x+b，代入抛物线方程可得：y²-4y+4b=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由题意可得：$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=0，可得（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-2）（y₂-2）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1+y₁•y₂-2（y₁+y₂+4=0，把根与系数的关系代入即可得出．

解答 解：（I）由题意可设抛物线的标准方程为：y²=2px（p＞0），把点P（1，2）代入可得：2²=2p×1，解得p=2．
∴抛物线C的标准方程为：y²=4x，准线方程为x=-1．
（II）时直线l的方程为：y=x+b，代入抛物线方程可得：y²-4y+4b=0，△=16-16b＞0，解得b＜1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴y₁+y₂=4，y₁•y₂=4b，∴x₁+x₂=y₁+y₂-2b，x₁x₂=$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$$•\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$=b²．
由题意可得：$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=0，∴（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-2）（y₂-2）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1+y₁•y₂-2（y₁+y₂+4=0，
∴b²-（4-2b）+1+4b-8+4=0，即b²+6b-7=0，解得b=-7，或b=1（舍去）．
∴直线l的方程为：x-y-7=0．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、圆的性质、一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．