Question

5．如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）．
（1）若△AMN的外接圆面积为S，求S的值；
（2）如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）．

Answer 1

分析 （1）在△AMN中，利用正弦定理求得△AMN的外接圆的半径R，可得△AMN的外接圆的面积．
（2）设∠AMN=θ，0°＜θ＜120°，可得AN、∠ANP的值，再利用余弦定理求得AP²的解析式，利用正弦函数的最值，求得AP的最大值．

解答 解：（1）在△AMN中，由正弦定理可知：$\frac{2}{sin60°}$=2R，故△AMN的外接圆的半径 R=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴△AMN的外接圆的面积S=πR²=$\frac{4π}{3}$．
（2）设∠AMN=θ，0°＜θ＜120°，在△AMN中，$\frac{AN}{sinθ}$=$\frac{2}{sin60°}$，AN=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ，
又因为NP=2，∠ANP=180°-θ，∴AP²=AN²+NP²-2AN•NP•cos（180°-θ）=$\frac{16}{3}$sin²θ+4+2•$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ•2cosθ=$\frac{16}{3}$sin（2θ-30°）+$\frac{20}{3}$．
∵0°＜θ＜120°，∴-30°＜2θ-30°＜210°，故当2θ-30°=90°时，AP²取得最大值为$\frac{16}{3}$+$\frac{20}{3}$=12，
故AP的最大值为2$\sqrt{3}$，此时，AM=AN=2．

点评 本题主要考查整弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的最值，属于中档题．