Question

10．平面几何中，有“边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值$\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$”，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}a$．

Answer 1

分析 由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．故我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．

解答 解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值$\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，
在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，
如图：
由棱长为a可以得到BF=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，BO=AO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a-OE，
在直角三角形中，根据勾股定理可以得到
BO²=BE²+OE²，
把数据代入得到OE=$\frac{\sqrt{6}}{12}$a，
∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×$\frac{\sqrt{6}}{12}$a=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}a$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{6}}}{3}a$．

点评 本题是基础题，考查类比推理及正四面体的体积的计算，转化思想的应用，考查空间想象能力，计算能力．