Question

已知函数f（x）=

3

sin²x+2cosx•sin（x-

π

3

）+sinxcosx．
（1）求函数y=f（x）的增区间
（2）若2f（x）-m+1=0在[

π

6

，

7π

12

]有两个相异的实根，求m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x-

π

3

），由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，即可解得函数y=f（x）的增区间．
（2）由已知转化为方程f（x）=

m-1

2

两个相异的实根，即y=f（x）图象与y=

m-1

2

图象有两个交点，结合函数图象，有1≤

m-1

2

＜2，即可解得m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

sin²x+2cosx•sin（x-

π

3

）+sinxcosx…2分
=

3

×（

1-cos2x

2

）+2cosx（

1

2

sinx-

3

2

cosx）+sinxcosx
=sin2x-

3

cos2x
=2sin（2x-

π

3

）…4分
∴由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ（k∈Z）…6分
（2）2f（x）-m+1=0在[

π

6

，

7π

12

]内有两个相异的实根，
f（x）=

m-1

2

两个相异的实根，
即y=f（x）图象与y=

m-1

2

图象有两个交点，…8分
结合函数图象，当1≤

m-1

2

＜2，
解得：m∈[3，5）时原方程有两个相异的实根，
故m∈[3，5）…13分

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想，属于中档题．