Question

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱AB的中点，点P在平面A₁B₁C₁D₁内，若D₁P⊥平面PCE，试求线段D₁P的长．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：建立空间直角坐标系，利用D₁P⊥平面PCE，确定P的坐标，从而可求线段D₁P的长．

解答： 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D₁（0，0，2），E（2，1，0），C（0，2，0）．
设P（x，y，2），则

D1P

=（x，y，0），

EP

=（x-2，y-1，2），

EC

=（-2，1，0）
因为D₁P⊥平面PCE，所以D₁P⊥EP，D₁P⊥EC，
所以

x(x-2)+y(y-1)=0 -2x+y=0

，解得

x=0 y=0

（舍去）或

x= 4 5 y= 8 5

即P（

4

5

，

8

5

，2），所

D1P

=（

4

5

，

8

5

，0），
所以|

D1P

|=

4 5

5

．

点评：本题考查的知识点是用空间向量求线段的长，建立适当的空间直角坐标系，将空间点，线，面之间的关系问题转化为向量问题是解答此类问题的关键．