Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD和ABEF均为矩形，M为AF的中点，BN⊥CE与N．
（1）求证：CF∥平面MBD；
（2）求证：平面EFC⊥平面BDN．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OM，由三角形中位线定理得CF∥OM，由此能证明CF∥平面MBD．
（Ⅱ）由四边形ABCD和ABEF均为矩形，得AB⊥平面BCE，从而BN⊥面EFC，由此能证明平面EFC⊥平面BDN．

解答： 证明：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OM．
因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC的中点．
因为M为AF的中点，所以CF∥OM，
又OM?平面MBD，CF?平面MBD，
所以CF∥平面MBD．（6分）
（Ⅱ）因为四边形ABCD和ABEF均为矩形，
所以AB⊥平面BCE，
所以AB⊥BN，又AB∥EF，所以BN⊥EF，
又BN⊥EC（已知），
所以BN⊥面EFC，
又BN?平面BDN，所以平面EFC⊥平面BDN．（12分）

点评：本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，是中档题．