Question

已知方向向量为

v

=（1，

3

）的直线l过点（0，-2

3

）和椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的离心率为

1

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点P（-8，0）的直线与椭圆相交于不同两点A、B，F为椭圆C的左焦点，求三角形ABF面积的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,不等式的解法及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由直线的方向向量可得斜率为

3

，求得直线l的方程，椭圆的焦点为直线l与x轴的交点，求得右焦点，再由离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设AB方程为x=my-8，代入椭圆方程，消去x，运用判别式大于0和韦达定理，由S_△ABF=S_△PBF-S_△APF=

1

2

|PF|•|y₂-y₁|，化简整理，结合基本不等式，即可得到最大值．

解答： 解：（1）∵直线l的方向向量为

v

=（1，

3

），
∴直线l的斜率为k=

3

，又∵直线l过点（0，-2

3

），
∴直线l的方程为y=

3

x-2

3

，
∵a＞b，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点，
∴椭圆的右焦点为（2，0），
∴c=2，又∵

c

a

=

1

2

，
∴a=4，∴b²=12
∴椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）设AB方程为x=my-8，代入椭圆方程

x2

16

+

y2

12

=1，
整理得（3m²+4）y²-48my+144=0，
△=（48m）²-4×144（3m²+4）＞0，y₁+y₂=

48m

3m2+4

，y₁y₂=

144

3m2+4

，
则S_△ABF=S_△PBF-S_△APF=

1

2

|PF|•|y₂-y₁|=

1

2

×6

(y1+y2)2-4y1y2

=

72 m2-4

3m2+4

=

72 m2-4

3(m2-4)+16

=

72

3 m2-4 + 16 m2-4

≤

72

2 3×16

=3

3

，
当且仅当3

m2-4

=

16

m2-4

即m²=

28

3

（此时适合△＞0的条件）取得等号．
则三角形ABF面积的最大值是3

3

．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的运用，同时考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理，以及三角形面积的求法，由基本不等式求得最大值是解题的关键．