Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形AB⊥CD，BC∥AD且BC=4，点M为PC中点．
（1）求证：平面ADM⊥平面PBC；
（2）求点P到平面ADM的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）取PB中点N，连结MN、AN，证明四边形ADMN为平行四边形，AN⊥平面PBC，可得平面ADM⊥平面PBC；
（2）PN⊥平面ADM，即点P到平面ADM的距离为PN，即可求点P到平面ADM的距离．

解答： 解：（1）取PB中点N，连结MN、AN，则
∵M是PC中点，∴MN∥BC，MN=

1

2

BC=2，
又∵BC∥AD，∴MN∥AD，MN=AD，
∴四边形ADMN为平行四边形，
∵AP⊥AD，AB⊥AD，∴AD⊥平面PAB，
∴AD⊥AN，∴AN⊥MN，
∵AP=AB，∴AN⊥PB，∴AN⊥平面PBC，
∵AN?平面ADM，
∴平面ADM⊥平面PBC．

（2）由（1）知，PN⊥AN，PN⊥AD，
∴PN⊥平面ADM，即点P到平面ADM的距离为PN，
在Rt△PAB中，由PA=AB=2，得PB=2

2

，
∴PN=

1

2

PB=

2

．

点评：本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、点到平面的距离等问题．