Question

已知函数f（x）=

x2-x+1，x≤1 2x+a，x＞1

且f（f（-1））=7．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数的值,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求（1）f（-1）=（-1）²-（-1）+1=3，再代入f（f（-1））得f（f（-1））=f（3）=2³+a=7，即可得到a=-1；
（2）由（1）知，a=-1，故f（x）=

x2-x+1，x≤1 2x-1，x＞1

，在当x≤1时与当x＞1时，分别研究函数的单调性，求出最小值．

解答： 解：（1）f（-1）=（-1）²-（-1）+1=3，∴f（f（-1））=f（3）=2³+a=7，
∴a=-1
（2）由（1）知，a=-1，故f（x）=

x2-x+1，x≤1 2x-1，x＞1

当x≤1时，f（x）=x²-x+1=（x-

1

2

）²+

3

4

≥

3

4

，即x∈[0，1]时f（x）先减后增；
当x＞1时，f（x）=2^x-1＞2¹-1=1，为增函数，
∴函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值应在x=

1

2

时取，
故当x=

1

2

时，f（x）_min=f（

1

2

）=

3

4

．

点评：本题主要考查分段函数的有关知识，解决问题的关键是在分段函数的每一段上考虑函数的表达式．