Question

20．设点A，B，C为球O的球面上三点，O为球心．球O的表面积为100π，且△ABC是边长为$4\sqrt{3}$的正三角形，则三棱锥O-ABC的体积为（　　）

• A． 12
• B． 12$\sqrt{3}$
• C． 24$\sqrt{3}$
• D． 36$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求球的半径，确定小圆中三角形ABC的特征，作出三棱锥O-ABC的高，然后解三角形求出三棱锥O-ABC的底面面积及三棱锥O-ABC的高，即可得到三棱锥O-ABC的体积．

解答 解：表面积为48π的球面，它的半径是R，则100π=4πR²，R=5，
因为△ABC是边长为$4\sqrt{3}$的正三角形，AB=BC=AC=4$\sqrt{3}$，三棱锥为正三棱锥，
作OD⊥平面ABC，D为△ABC的小圆的圆心，
所以OD⊥平面ABC，OD就是三棱锥O-ABC的高，CD=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×4\sqrt{3}$．
OD=$\sqrt{{5}^{2}-{（\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×4\sqrt{3}）}^{2}}$=3，
则三棱锥O-ABC的体积为V=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（{4\sqrt{3}）}^{2}×3$=12$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题考查球的有关计算问题，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．