Question

9．电影放映机上聚光灯泡的反射面，是由椭圆的一部分CAB（如图），绕着OA轴旋转而成的，如果把灯泡放在椭圆的一个焦点F₁处，那么根据椭圆的光学性质，由F₁发出光线，经反射面反射后，都集中在椭圆的另一个焦点F₂处，因此，只要把影片放在F₂处，就可以得到最强的光线，现已知|F₁A|=1.5cm，|BC|=5.2cm，那么聚光灯泡F₁与影片门F₂之间应该距离多少cm．

Answer 1

分析 设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），把x=c代入椭圆方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$．可得$\frac{2{b}^{2}}{a}$=|BC|=5.2，又|F₁A|=1.5=a-c，a²=b²+c²，联立解出即可得出．

解答 解：设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），
把x=c代入椭圆方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$．
∴$\frac{2{b}^{2}}{a}$=|BC|=5.2，|F₁A|=1.5=a-c，又a²=b²+c²，
联立解得a=$\frac{45}{8}$，c=$\frac{33}{8}$．
∴聚光灯泡F₁与影片门F₂之间距离=2c=$\frac{33}{4}$cm．
答：聚光灯泡F₁与影片门F₂之间应该距离$\frac{33}{4}$cm．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．