Question

【题目】如图，正方体是一个棱长为2的空心蔬菜大棚，由8个钢结构（地面没有）组合搭建而成的，四个侧面及顶上均被可采光的薄膜覆盖，已知为柱上一点（不在点、处），（），菜农需要在地面正方形内画出一条曲线将菜地分隔为两个不同的区域来种植不同品种的蔬菜以加强管理，现已知点为地面正方形内的曲线上任意一点，设、分别为在点处观测和的仰角.

（1）若，请说明曲线是何种曲线，为什么？

（2）若为柱的中点，且时，请求出点所在区域的面积.

Answer 1

【答案】（1），圆的一部分；见解析（2）

【解析】

（1）平面中，以为原点，以为轴建立平面直角坐标系，设，由可得，从而可求出轨迹方程.

（2）由可得，结合为柱的中点可求出在正方形内部，且在内，结合图形，利用间接法求出区域面积.

（1）解：在平面中，以为原点，以为轴建立平面直角坐标系，

则，由底面，底面，可知.

则，，设，则，

所以,，又，则，

所以 ，整理得，，

所以曲线是圆的一部分.

（2）由，且均为锐角，则，由题意知，，由，

则在正方形内部，且在内，点所在区域如图阴影所示

圆的圆心为，半径.，所以，

所以，，所以扇形面积，

又，

则阴影的面积.