Question

【题目】已知圆，点，为平面内一动点，以线段为直径的圆内切于圆，设动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的标准方程；

（2）已知过坐标原点的直线交曲线于、两点，若在曲线上存在点，使得，求的面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设的中点为，切点为，连、，则，推出点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，然后求解曲线方程；

（2）由椭圆的对称性知坐标原点为线段的中点，结合可知，然后分直线与坐标轴重合与直线的斜率不为零两种情况讨论，在第一种情况下求出的面积，在第二种情况下，设直线的方程为，可得出直线的方程为，求出的面积关于的关系式，利用基本不等式可求得面积的最小值，比较大小后可得出结论.

（1）设的中点为，切点为，连、，则，

取关于轴的对称点，连，故．

所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆．

其中，，，则，因此，曲线的标准方程为；

（2）过坐标原点的直线交曲线于、两点，则坐标原点为线段的中点，

，则.

①若直线与坐标轴重合，则的面积为；

②若直线的斜率不为零，设直线的方程为，

联立，可得，所以，，

同理可得，

此时，的面积为，当且仅当时，等号成立，

，因此，的面积的最小值为.