Question

已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

3

anan+1

，Tn是数列{b_n}的前n项和，求T_n的范围．

Answer 1

考点：数列的求和,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设这二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0），根据导函数求得f（x）的表达式，再根据点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上，求出a_n的递推关系式，
（2）把（1）题中a_n的递推关系式代入b_n，根据裂项相消法求得T_n，解得求取值范围．

解答： 解：（1）设二次函数f（x）=ax²+bx，则f'（x）=2ax+b，由于f'（x）=6x-2，所以a=3，b=-2，所以f（x）=3x²-2x．   
又点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y=f（x）的图象上，所以Sn=3n2-2n．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n-5，当n=1时，a₁=S₁=1，也适合a_n=6n-5．
所以a_n=6n-5（n∈N*）．
（2）由（1）得bn=

3

anan+1

=

3

(6n-5)(6n+1)

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)．   
故Tn=

n

i=1

bi=

1

2

[(1-

1

7

)+(

1

7

-

1

13

)+…+(

1

6n-5

-

1

6n+1

)]=

1

2

(1-

1

6n+1

)．
∴

3

7

＜T_n＜

1

2

．

点评：本题主要考查二次函数、等差数列、数列求和、等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力，属于中档题．