Question

已知函数f（x）=ax³-3x²+（c+3）x+c+8 在x=-2 时有极值1
（1）极值1是极大值还是极小值，说明理由，并求出f（x） 的另一个极值；
（2）过点A（0，10）作函数f （x）图象的切线l，求直线l与函数g（x）=f（x）+x³-x 的图象围成的平面图形的面积．

Answer 1

分析：解：（1）由题意得12a+12+c+3=0且-8a-12-2c-6+c+8=1求出a，c的值，代入导函数，判断出导函数的符号，进一步判断出函数的极值情况．
（2）利用导函数在切点处的导数值为切线的斜率，设出l的方程，将点A的坐标代入求出切线方程，求出l与切线g（x）的交点，利用定积分表示出平面图形的面积．

解答：解：（1）f′（x）=3ax²-6x+c+3
由题意得12a+12+c+3=0且-8a-12-2c-6+c+8=1
解得a=-1，c=-3
所以f（x）=-x³-3x²+5
所以f′（x）=-3x²-6x=-3x（x+2）
当x＜-2时，f′（x）＜0；当-2＜x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0；
所以f（x）在x=-2时取到极小值1；当x=0时取到极大值为5．
（2）设l的切点为（m，-m³-3m²+5）则l的方程为：
y+m³⁺3m²-5=（-3m²-6m）（x-m）
因为过点A（0，10），
所以10+m³⁺3m²-5=（-3m²-6m）（-m）
解得m=-3或m=1
所以l的方程为y=-9x+10，
因为g（x）=-3x²-x+5，
由

g(x)=-3x2-x+5 y=-9x+10

得x1=

5

3

，x2=1
∴S=

∫

5 3 1

(-3x2-x+5+9x-10)dx=

4

27

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及利用导数研究曲线上某点的切线方程的能力．