Question

5．如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为2和4，AB=4，E、F分别为PC、AQ的中点，则直线EF与平面PBQ所成角的正弦值为$\frac{{2\sqrt{34}}}{17}$．

Answer 1

分析 如图所示，建立坐标系，则E（-$\sqrt{2}，0，1$），F（$\sqrt{2}$，0，-2），求出平面PBQ的法向量，即可得出直线EF与平面PBQ所成角的正弦值．

解答 解：如图所示，建立坐标系，则E（-$\sqrt{2}，0，1$），F（$\sqrt{2}$，0，-2），
∴$\overrightarrow{EF}$=（2$\sqrt{2}$，0，-3），
∵平面PBQ的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
∴cos＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$=$\frac{{2\sqrt{34}}}{17}$，
∴直线EF与平面PBQ所成角的正弦值为$\frac{{2\sqrt{34}}}{17}$．
故答案为$\frac{{2\sqrt{34}}}{17}$．

点评 本题考查直线EF与平面PBQ所成角的正弦值，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．