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    如图，过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于、两点，点Q是点P关于原点的对称点.

    （1）设，证明：；
    （2）设直线AB的方程是，过、两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.

    （1）详见解析.（2）.

    解析试题分析：（1）将直线与抛物线的方程联立，消去y，得到二次方程，应用设而不求，整体代换思想，证明，进而证明；（2）将直线与抛物线的方程联立，解出两点的坐标，求出抛物线在点处的切线斜率，则圆心与点连线的斜率为切线斜率的负倒数，得到方程①，再将两点的坐标代入到圆的方程中，得到方程②，解方程得到圆心坐标及半径，解出圆的方程.
    试题解析： (1) 由题意，可设直线的方程为，代入抛物线方程得
                 ①
    设、两点的坐标分别是，则是方程①的两根，所以
    由得，又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标为，从而



    所以
    (2) 由得的坐标分别为
    抛物线在点A处切线的斜率为3.
    设圆C的方程是，则
    解之得

    故，圆C的方程是
    考点：直线与圆锥曲线的位置关系，用数量积表示向量垂直.

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切.

    （1）求椭圆的方程；
    （2）如图，、、是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点，设的斜率为，的斜率为，求证：为定值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
    （1）求椭圆的方程；
    （2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于，垂足为点，线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；
    （3）设与轴交于点，不同的两点在上（与也不重合），且满足，求的取值范围.

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知椭圆（）右顶点到右焦点的距离为，短轴长为.
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点，若线段的长为，求直线的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，直线与椭圆C相交于A、B两点.
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）求的取值范围；

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知椭圆的中心在坐标原点，右准线为，离心率为．若直线与椭圆交于不同的两点、，以线段为直径作圆.
    （1）求椭圆的标准方程；
    （2）若圆与轴相切，求圆被直线截得的线段长.

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    知椭圆的左右焦点为F1，F2，离心率为,以线段F1 F2为直径的圆的面积为，   (1)求椭圆的方程；(2) 设直线l过椭圆的右焦点F2（l不垂直坐标轴），且与椭圆交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M（m,0），试求m的取值范围.

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点，

    （Ⅰ）设直线的斜率分别为，求证：为定值；
    （Ⅱ）求线段的长的最小值；
    （Ⅲ）当点运动时，以为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，．
    （Ⅰ）求抛物线的方程；
    （Ⅱ) 设点是抛物线上的两点，的角平分线与轴垂直，求的面积最大时直线的方程．

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