如图，过抛物线
的对称轴上任一点
作直线与抛物线交于
、
两点，点Q是点P关于原点的对称点.
（1）设
，证明：
；
（2）设直线AB的方程是
，过、两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.
（1）详见解析.（2）
.
解析试题分析：（1）将直线与抛物线的方程联立，消去y，得到二次方程
，应用设而不求，整体代换思想，证明
，进而证明；（2）将直线与抛物线的方程联立，解出
两点的坐标，求出抛物线在点处的切线斜率，则圆心与点连线的斜率为切线斜率的负倒数，得到方程①，再将两点的坐标代入到圆的方程中，得到方程②，解方程得到圆心坐标及半径，解出圆的方程.
试题解析： (1) 由题意，可设直线
的方程为
，代入抛物线方程得 ①
设、两点的坐标分别是
，则
是方程①的两根，所以
由得
，又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标为
，从而
所以
(2) 由
得的坐标分别为
抛物线在点A处切线的斜率为3.
设圆C的方程是
，则
解之得
故，圆C的方程是
考点：直线与圆锥曲线的位置关系，用数量积表示向量垂直.
科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的离心率为
，直线
与以原点为圆心、椭圆
的短半轴长为半径的圆
相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，
、
、
是椭圆的顶点，
是椭圆上除顶点外的任意点，直线
交
轴于点
，直线
交
于点
，设的斜率为
，
的斜率为
，求证：
为定值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的离心率为
，直线
与以原点为圆心、以椭圆
的短半轴长为半径的圆
相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左焦点为
，右焦点为
，直线
过点，且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直于，垂足为点
，线段
的垂直平分线交于点
，求点的轨迹
的方程；
（3）设与
轴交于点
，不同的两点
在上（与也不重合），且满足
，求
的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的中心在坐标原点，右准线为
，离心率为
．若直线
与椭圆交于不同的两点
、
，以线段
为直径作圆
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若圆与
轴相切，求圆被直线
截得的线段长.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
知椭圆
的左右焦点为F1，F2，离心率为
,以线段F1 F2为直径的圆的面积为
， (1)求椭圆的方程；(2) 设直线l过椭圆的右焦点F2（l不垂直坐标轴），且与椭圆交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M（m,0），试求m的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，已知椭圆
的上、下顶点分别为
，点
在椭圆上，且异于点，直线
与直线
分别交于点
，
（Ⅰ）设直线的斜率分别为
，求证：
为定值；
（Ⅱ）求线段
的长的最小值；
（Ⅲ）当点运动时，以为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知抛物线
的焦点为
，点
是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，
．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ) 设点
是抛物线上的两点，
的角平分线与
轴垂直，求
的面积最大时直线
的方程．
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（
）右顶点到右焦点的距离为
，短轴长为
.
的直线与椭圆分别交于
、
两点，若线段
的长为
，求直线
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线
相切，直线
与椭圆C相交于A、B两点.
的取值范围；