Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．
（1）设点E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB；
（2）线段PD上是否存在一点N，使得直线CN与平面PAC所成的角θ的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$？若存在，试确定点N的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）取AD中点M，利用三角形的中位线证明EM∥平面PAB，利用同位角相等证明MC∥AB，得到平面EMC∥平面PAB，证得EC∥平面PAB；
（2）建立坐标系，求出平面PAC的法向量，利用直线CN与平面PAC所成的角θ的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$，可得结论．

解答 （1）证明：取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA．
∵EM?平面PAB，PA?平面PAB，
∴EM∥平面PAB．
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，∴∠ACM=60°．
而∠BAC=60°，∴MC∥AB．
∵MC?平面PAB，AB?平面PAB，∴MC∥平面PAB．
∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC?平面EMC，∴EC∥平面PAB．
（2）解：过A作AF⊥AD，交BC于F，建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），C（$\sqrt{3}$，1，0），D（0，4，0），P（0，0，2），

设平面PAC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{2z=0}\\{\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-3，0），
设$\overrightarrow{PN}$=λ$\overrightarrow{PD}$（0≤λ≤1），则$\overrightarrow{PN}$=（0，4λ，-2λ），$\overrightarrow{CN}$=（-λ-1，2-2λ），
∴|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{CN}$＞|=$\frac{|12λ|}{\sqrt{3+（4λ-1）^{2}+（2-2λ）^{2}}•\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，∴$λ=\frac{1}{2}$，
∴N为PD的中点，使得直线CN与平面PAC所成的角θ的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．