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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
6
3

(I)若原点到直线x+y-b=0的距离为
2
,求椭圆的方程;
(II)设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A,B两点.
(i)当|AB|=
3
,求b的值;
(ii)对于椭圆上任一点M,若
OM
OA
OB
,求实数λ,μ满足的关系式.
分析:(I)由题意知b=2,a2=12,b2=4.由此可知椭圆的方程为
x2
12
+
y2
4
=1

(II)(i)由题意知椭圆的方程可化为:x2+3y2=3b2,AB:y=x-
2
b
,所以4x2-6
2
bx+3b2=0
.设A(x1,y1),B(x2,y2),|AB|=
(x2-x1)2+(y2-y1)2
=
(1+12)
72b2-48b2
42
=
2•
24b2
42
=
3
b=
3
,所以b=1.
(II)(ii)显然
OA
OB
可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量
OM
,有且只有一对实数λ,μ,使得等
OM
OA
OB
成立.同上经可知λ22=1.
解答:解:(I)∵d=
b
2
=
2
,∴b=2∵e=
c
a
=
6
3
,∴
c2
a2
=
2
3
∵a2-b2=c2,∴a2-4=
2
3
a2
解得a2=12,b2=4.
椭圆的方程为
x2
12
+
y2
4
=1
.(4分)
(II)(i)∵
c
a
=
6
3
,∴a2=3b2c2=
2
3
a2=2b2
.椭圆的方程可化为:x2+3y2=3b2
易知右焦点F(
2
b,0)
,据题意有AB:y=x-
2
b

由①,②有:4x2-6
2
bx+3b2=0

设A(x1,y1),B(x2,y2),|AB|=
(x2-x1)2+(y2-y1)2
=
(1+12)
72b2-48b2
42
=
2•
24b2
42
=
3
b=
3
∴b=1(8分)
(II)(ii)显然
OA
OB
可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量
OM
,有且只有一对实数λ,μ,使得等
OM
OA
OB
成立.
设M(x,y),∵(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2),∴x=λx1+μx2,y=λy1+μy2
又点M在椭圆上,∴(λx1+μx22+3(λy1+μy22=3b2
由③有:x1+x2=
3
2
b
2
x1x2=
3b2
4

x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-
2
b)(x2-
2
b)=4x1x2-3
2
b(x1+x2)+6b2

3b2-9b2+6b2=0⑤
又A,B在椭圆上,故有x12+3y12=3b2,x22+3y22=3b2
将⑥,⑤代入④可得:λ22=1.(14分)
点评:本题考查圆锥曲线的位置关系和综合应用,解题时要认真审题,仔细解答.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦点分别为F1,F2,左顶点为A,若|F1F2|=2,椭圆的离心率为e=
1
2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程,
(Ⅱ)若P是椭圆上的任意一点,求
PF1
PA
的取值范围
(III)直线l:y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M,N(均不是长轴的顶点),AH⊥MN垂足为H且
AH
2
=
MH
HN
,求证:直线l恒过定点.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦点F(-c,0)是长轴的一个四等分点,点A、B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点,记直线AD、BC的斜率分别为k1,k2
(1)当点D到两焦点的距离之和为4,直线l⊥x轴时,求k1:k2的值;
(2)求k1:k2的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率是
3
2
,且经过点M(2,1),直线y=
1
2
x+m(m<0)
与椭圆相交于A,B两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)当m=-1时,求△MAB的面积;
(3)求△MAB的内心的横坐标.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•威海二模)已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为e=
6
3
,过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点,且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设点M(0,2),直线l:y=1,过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点,若N为AB的中点,D为N在直线l上的射影,AB的中垂线与y轴交于点P.求证:
ND
MP
AB
2
为定值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦点为F,过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点,若|MN|=3,且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根,求椭圆方程.

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