Question

14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0）有相同的焦点（-c，0）和（c，0），若c是a，m的等比中项，n²是2m²与c²的等差中项，则椭圆的离心率是（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 根据是a、m的等比中项可得c²=am，根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得a²-b²=m²+n²=c²，根据n²是2m²与c²的等差中项可得2n²=2m²+c²，联立方程即可求得a和c的关系，进而求得离心率e．

解答 解：由椭圆和双曲线有相同的焦点，
可得a²-b²=m²+n²=c²，
由c是a，m的等比中项，可得c²=am；
由n²是2m²与c²的等差中项，可得2n²=2m²+c²．
（即有n²=m²+$\frac{1}{2}$c²．解得m=$\frac{1}{2}$c，
代入c²=am，即为a=2c，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$）
可得m=$\frac{{c}^{2}}{a}$，n²=$\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2}$c²，
即有$\frac{2{c}^{4}}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2}$c²=c²，
化简可得，a²=4c²，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的性质，同时考查等差数列和等比数列的中项的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．