Question

1．数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），等差数列{b_n}满足b₃=3，b₅=9．
（1）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{{b}_{n+2}}{{a}_{n+2}}$（n∈N^*），求{c_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、等比数列与等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）由a_n+1=2S_n+1，①
得a_n=2S_n-1+1（n≥2），②
①-②得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，
∴a_n+1=3a_n，即$\frac{an+1}{an}$=3，又当n=1时，$\frac{a2}{a1}$=3也符合上式，
∴a_n=3^n-1．
由数列{b_n}为等差数列，b₃=3，b₅=9，设{b_n}公差为d，
∴b₅-b₃=9-3=2d，∴d=3，∴b_n=3n-6．
（2）由（1）知：a_n+2=3ⁿ⁺¹，b_n+2=3n，
∴c_n=$\frac{{b}_{n+2}}{{a}_{n+2}}$=$\frac{3n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{n}{{3}^{n}}$．
∴{c_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n}}$+$\frac{n}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}-\frac{3+2n}{2×{3}^{n+1}}$，
∴T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n}}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．