Question

20．已知数列{a_n}满足a₁=1，且9a_n+1a_n-2•a_n+1-4a_n+1=0 （n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过9a_n+1a_n-2•a_n+1-4a_n+1=0可知a_n+1=$\frac{4{a}_{n}-1}{9{a}_{n}-2}$，进而利用a₁=1直接代入计算即得结论；
（2）通过（1）可猜想a_n=$\frac{2n-1}{6n-5}$，进而利用数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）∵9a_n+1a_n-2•a_n+1-4a_n+1=0，
∴a_n+1=$\frac{4{a}_{n}-1}{9{a}_{n}-2}$，
又∵a₁=1，
∴a₂=$\frac{3}{7}$，a₃=$\frac{5}{13}$，a₄=$\frac{7}{19}$；
（2）由（1）可猜想a_n=$\frac{2n-1}{6n-5}$．
下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时，a₁=1结论显然成立；
②假设当n=k时（k∈N⁺）时，结论成立，即a_k=$\frac{2k-1}{6k-5}$，
则当n=k+1时，有a_k+1=$\frac{4{a}_{k}-1}{9{a}_{k}-2}$=$\frac{4•\frac{2k-1}{6k-5}-1}{9•\frac{2k-1}{6k-5}-2}$=$\frac{2k+1}{6k+1}$=$\frac{2（k+1）-1}{6（k+1）-5}$，
即当n=k+1时命题也成立；
由①②可知a_n=$\frac{2n-1}{6n-5}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查数学归纳法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．