Question

已知函数f（x）=x³+ax²+2，x=2是f（x）的一个极值点，求：
（1）实数a的值；
（2）f（x）在区间[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）由x=-2是f（x）的一个极值点，得f′（2）=0，解出可得；
（2）由（1）可求f（x），f'（x），令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=2．当x变化时f′（x），f（x）的变化情况列成表格，由极值、端点处函数值可得函数的最值；

解答： 解：（1）∵f（x）在x=2处有极值，∴f′（2）=0．
∵f′（x）=3x²+2ax，∴3×4+4a=0，∴a=-3．
经检验a=-3时x=2是f（x）的一个极值点，
故a=-3；
（2）由（1）知a=-3，∴f（x）=x³-3x²+2，f′（x）=3x²-6x．
令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=2．当x变化时f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，2）	2	（2，3）	3
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-2	?↑	2	?↓	-2	↑?	2

从上表可知f（x）在区间[-1，3]上的最大值是2，最小值是-2．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值、最值，属中档题，正确理解导数与函数的关系是解题关键．