Question

已知函数f（x）=ax²-4x-1．
（1）当a=2时，求函数f（x）的零点；
（2）当a=2且x∈（0，1）时，f（1-m）-f（2m-1）＜0恒成立，求m的取值范围；
（3）若a=0，设g(x)=

b

x

(b≠0)，且函数h（x）=g（x）-f（x）是区间（1，3）上的单调函数，求b的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=2时，根据二次函数的零点定义，即可求函数f（x）的零点；
（2）当a=2且x∈（0，1）时，将f（1-m）-f（2m-1）＜0恒成立，转化为函数单调性之间的关系，即可求m的取值范围；
（3）根据函数的单调性建立条件关系即可求出b的取值范围．

解答： 解：（1）当a=2时，f（x）=2x²-4x-1
令f（x）=0，得x1=1+

6

2

，x2=1-

6

2

，
∴f（x）的零点是1+

6

2

和1-

6

2

．
（2）∵a=2，∵f（x）=2x²-4x-1=2（x-1）²-3，
∴f（x）在（0，1）上单调递减．
∵当x∈（0，1）时，f（1-m）-f（2m-1）＜0恒成立，
可得f（1-m）＜f（2m-1），
则

1-m＞2m-1 0＜1-m＜1 0＜2m-1＜1

，
解得 

1

2

＜m＜

2

3

，
∴m的取值范围是

1

2

＜m＜

2

3

．
（3）∵h(x)=

b

x

+4x+1(b≠0)
①若b＜0，h（x）在（1，3）上为单调增函数，故成立； 
②若b＞0，则h（x）图象如图：
∵h（x）是（1，3）上的单调函数，
∴

b

2

≥3或

b

2

≤1，
∴b≥36或0＜b≤4．
综上所得，b的取值范围是b＜0或0＜b≤4或b≥36．

点评：本题主要考查函数单调性的应用，根据函数单调性的性质是解决函数最值的基本方法，考查学生的计算能力，运算量较大，综合性较强．