Question

已知函数f（x）=2^ax
（1）若f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）在[1，2]上的最大值与最小值的和为6，求实数a的值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据指数函数的单调性的性质和底数之间的关系，求实数a的取值范围；
（2）根据函数f（x）=2^ax=（2^a）^x，在定义域为单调函数，建立方程即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=2^ax=（2^a）^x，
∴若f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，
则0＜2^a＜1，即a＜0，
即实数a的取值范围是a＜0．
（2）∵f（x）=2^ax=（2^a）^x，在定义域为单调函数，
∴若f（x）在[1，2]上的最大值与最小值的和为6，
即f（1）+f（2）=6，
∴2^a+2^2a=6，
即（2^a）²+2^a-6=0，
2^a=2或2^a=-3（舍去），
解得a=1．

点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，利用指数函数的单调性的性质是解决本题的关键．