Question

设函数f（x）=

x

1+x

的反函数为y=f^-1（x）
（1）数列{a_n}满足f^-1（n）•a_n=3n，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）数列{b_n}中，b_n=2 an，证明数列{b_n}为等比数列．

Answer 1

考点：等比关系的确定,反函数

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：（1）求反函数可得f^-1（x）=

x

1-x

，代入已知可得a_n的式子，可判为等差数列，代入求和公式可得；
（2）由（1）知a_n=3-3n，可得b_n=2 an=2^3-3n，可得

bn+1

bn

为常数，即可证明．

解答： 解：（1）记f（x）=y=

x

1+x

，则可得x=

y

1-y

，
故可得y=f^-1（x）=

x

1-x

，f^-1（n）=

n

1-n

，
∵f^-1（n）•a_n=3n，∴a_n=

3n

f-1(n)

=3-3n
∴数列{a_n}是以0为首项，-3为公差的等差数列，
∴S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=-

3

2

n2+

3

2

n
（2）由（1）知a_n=3-3n，
∴b_n=2 an=2^3-3n
∴

bn+1

bn

=

23-3(n+1)

23-3n

=2^-3=

1

8

∴数列{b_n}是

1

8

为公比的等比数列．

点评：本题考查反函数，涉及等差数列和等比数列的应用，属基础题．