Question

已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AC₁与平面A₁BD，CB₁D₁交于E，F两点．给出以下命题，其中真命题有

 

（写出所有正确命题的序号）
①点E，F为线段AC₁的两个三等分点；
②

ED 1

=-

2

3

DC

+

1

3

AD

+

1

3

AA 1

；
③设A₁D₁中点为M，CD的中点为N，则直线MN与面A₁DB有一个交点；
④E为△A₁BD的内心；
⑤若∠A₁AD=∠A₁AB=∠BAD=60°，且AA₁=AB=AD=1，则三棱锥A₁-ABD为正三棱锥，且|AC₁|=

6

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间向量及应用

分析：结合平行六面体的性质，可判断①，运用空间向量的加减运算，解决②，注意重心的性质的运用，④可由①的分析得到；③通过面面平行的判定和性质可得；⑤可由向量的模求得．

解答： 解：①连接A₁C₁，AC，A₁C，A₁E，由平行六面体的性质得：四边形A₁ACC₁是平行四边形，对角线互相平分且交于点O，延长A₁E交AC于H，且H为AC的中点，则E为三角形A₁AC的重心，有AE=2OE，同理C₁F=2OF，
所以点E，F为线段AC₁的两个三等分点，故①对；
②∵

ED1

=

A1D1

-

A1E

=

AD

-

2

3

A1H

=

AD

-

1

3

(

A1A

+

A1C

)=

AD

-

2

3

A1A

-

1

3

A1B1

-

1

3

AD

=

2

3

AD

+

2

3

AA1

-

1

3

DC

，故②错；
③再取A₁B₁的中点K，连接KM，KN，由面面平行的判定定理可得：面KMN∥面A₁BD，所以直线MN∥面A₁BD，
所以直线MN与面A₁DB没有交点，故③错；
④由①得A₁E=2EH，所以E为△A₁BD的重心，故④错；
⑤因为∠A₁AD=∠A₁AB=∠BAD=60°，且AA₁=AB=AD=1，所以三角形A₁BD为等边三角形，即
三棱锥A₁-ABD为正三棱锥，∵

AC1

=

AA1

+

AB

+

AD

，|

AC1

|=

( AA1 + AB + AD )2

=

1+1+1+2× 1 2 +2× 1 2 +2× 1 2

=

6

，故⑤对．
故答案为：①⑤

点评：本题考查平行六面体的性质，空间向量的加法、减法和数量积、模的概念，考查运算能力，是一道中档题．