Question

从1、2、…、2n中拿走n个连续的正整数，留下来的n个数的和是1615，则满足条件的所有正整数n=

 

．

Answer 1

考点：等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：1+2+…+2n=n（2n+1），假设从第k个数开始拿，由题意得到1615=n（2n-1）-

n

2

(2k+n-1)，由此进行分类讨论，能求出正整数n的值．

解答： 解：1+2+…+2n=n（2n+1），
假设从第k个数开始拿
则拿走的部分和为k+（k+1）+（k+2）+…+（k+n-1）=

n

2

(k+k+n-1)，
于是1615=n（2n-1）-

n

2

(2k+n-1)，
化简得2k=3（n+1）-

3230

n

，k∈Z⁺，n∈Z⁺，
∵3230=2x5x17x19，且2k为偶数
∴当n为奇数时3（n+1）是个偶数，这时只需

3230

n

也是偶数即可，
于是n=5，17，19满足．
代入后发现此时k＜0，即n为奇数不满足题意．
当n为偶数时3（n+1）为奇数，这时需要

3230

n

也是奇数，
于是n=2，n=2x5=10，n=2x17=34，n=2x19=38即可．
代入后发现n=2，n=10时k为负数，不合题意．
当n=34时k=5，n=38时k=16满足题意．
综上所述：正整数n的值为34或38．
故答案为：34或38．

点评：本题考查等差数列的前n项和的应用，是中档题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．