Question

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$\sqrt{3}$（a-ccosB）=bsinC．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，则当a，b分别取何值时，△ABC的面积取得最大值，并求出其最大值．

Answer 1

分析 （1）$\sqrt{3}$（a-ccosB）=bsinC，由正弦定理可得：$\sqrt{3}$（sinA-sinCcosB）=sinBsinC，由sinB≠0，展开可得tanC=$\sqrt{3}$，即可得出．
（2）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$，再利用基本不等式的性质可得：4≥ab＞0，S_△ABC=$\frac{1}{2}ab$sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab即可得出．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}$（a-ccosB）=bsinC，由正弦定理可得：$\sqrt{3}$（sinA-sinCcosB）=sinBsinC，
化为：$\sqrt{3}$[sin（B+C）-sinCcosB]=$\sqrt{3}$sinBcosC=sinBsinC，
∵sinB≠0，
∴tanC=$\sqrt{3}$，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）c=2，C=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$，
∴4≥2ab-ab=ab＞0，当且仅当a=b=2时取等号．
又S_△ABC=$\frac{1}{2}ab$sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\sqrt{3}$，当且仅当a=b=2时取等号．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．