Question

【题目】已知函数，，，三个函数的定义域均为集合．

（1）若，试判断集合与的关系，并说明理由；

（2）记，是否存在，使得对任意的实数，函数有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数；若不存在，说明理由．（以下数据供参考：，）

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1），利用导数工具得

；（2）令，．利用导数工具和零点存在性定理可知： ，，由于，，，，由零点存在性定理可知：，函数在定义域内有且仅有一个零点．，函数在定义域内有且仅有一个零点．假设存在使得，

，令，利用导数工具可得．

试题解析：（1），．

易知在上递减，∴．

存在，使得，函数在递增，在递减，．

由得，

，

∴，．

（2）令，．

①，，由于，，，，由零点存在性定理可知：

，函数在定义域内有且仅有一个零点．

②，，，，，

同理可知：

，函数在定义域内有且仅有一个零点．

③假设存在使得，

消得，

令，，

∴递增．∵，，

∴，

此时，

所以满足条件的最小整数．