Question

三棱锥A ­ BCD及其侧视图、俯视图如图1­4所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.

(1)证明：P是线段BC的中点；

(2)求二面角A ­ NP ­ M的余弦值．

　

图1­4

Answer 1

解：(1)如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO.

由侧视图及俯视图知，△ABD，△BCD为正三角形，

所以AO⊥BD，OC⊥BD.

因为AO，OC⊂平面AOC，且AO∩OC＝O，

所以BD⊥平面AOC.

又因为AC⊂平面AOC，所以BD⊥AC.

取BO的中点H，连接NH，PH.

又M，N，H分别为线段AD，AB，BO的中点，所以MN∥BD，NH∥AO，

因为AO⊥BD，所以NH⊥BD.

因为MN⊥NP，所以NP⊥BD.

因为NH，NP⊂平面NHP，且NH∩NP＝N，所以BD⊥平面NHP.

又因为HP⊂平面NHP，所以BD⊥HP.

又OC⊥BD，HP⊂平面BCD，OC⊂平面BCD，所以HP∥OC.

因为H为BO的中点，所以P为BC的中点．

(2)方法一：如图所示，作NQ⊥AC于Q，连接MQ.

由(1)知，NP∥AC，所以NQ⊥NP.

因为MN⊥NP，所以∠MNQ为二面角A ­ NP ­ M的一个平面角．

由(1)知，△ABD，△BCD为边长为2的正三角形，所以AO＝OC＝.

由俯视图可知，AO⊥平面BCD.

因为OC⊂平面BCD，所以AO⊥OC，因此在等腰直角△AOC中，AC＝.

作BR⊥AC于R

因为在△ABC中，AB＝BC，所以R为AC的中点，

所以BR＝＝.

因为在平面ABC内，NQ⊥AC，BR⊥AC，

所以NQ∥BR.

又因为N为AB的中点，所以Q为AR的中点，

所以NQ＝＝.

同理，可得MQ＝.

故△MNQ为等腰三角形，

所以在等腰△MNQ中，

cos∠MNQ＝＝＝.

故二面角A ­ NP ­ M的余弦值是.

方法二：由俯视图及(1)可知，AO⊥平面BCD.

因为OC，OB⊂平面BCD，所以AO⊥OC，AO⊥OB.

又OC⊥OB，所以直线OA，OB，OC两两垂直．

如图所示，以O为坐标原点，以OB，OC，OA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O ­xyz.

则A(0，0，)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(－1，0，0)．

因为M，N分别为线段AD，AB的中点，

又由(1)知，P为线段BC的中点，

所以M，N，P，于是AB＝(1，0，－)，BC＝(－1，，0)，MN＝(1，0，0)，NP＝.

设平面ABC的一个法向量n₁＝(x₁，y₁，z₁)，

由得即

从而

取z₁＝1，则x₁＝，y₁＝1，所以n₁＝(，1，1)．

设平面MNP的一个法向量n₂＝(x₂，y₂，z₂)，由，

得

即

从而

取z₂＝1，则y₂＝1，x₂＝0，所以n₂＝(0，1，1)．

设二面角A ­ NP ­ M的大小为θ，则cos θ＝＝＝.

故二面角A­NP­M的余弦值是.