Question

已知f（x）=cos（ωx+

π

3

）的最小正周期为π，且f（β+

π

3

）=

7

9

，β∈（

π

2

，π）
（1）求cosβ的最小值；
（2）若sin（α+β）=

7

9

，且α∈（0，

π

2

），求sinα的值．

Answer 1

考点：余弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先利用函数的周期求出函数的解析式，进一步利用关系式求出函数的值．
（2）利用（1）的结论求出角的范围，及对应的函数值，进一步通过角的恒等变换求出结果．

解答： 解：（1）已知f（x）=cos（ωx+

π

3

）的最小正周期为π，
则：T=

2π

ω

=π，
解得：ω=2．
所以：f（x）=cos（2x+

π

3

），
由于：f（β+

π

3

）=

7

9

，
则：cos（2β+π）=

7

9

，
则：1-2cos2β=

2

9

，
cosβ=±

1

3

．
β∈（

π

2

，π），
所以：cosβ=-

1

3

（2）由于：β∈（

π

2

，π），α∈（0，

π

2

），
则：α+β∈(

π

2

，

3π

2

)，sin（α+β）=

7

9

，
解得：cos（α+β）=-

4 2

9

，
由（1）知：cosβ=-

1

3

，
解得：sinβ=

2 2

3

，
所以：sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ
=

1

3

．

点评：本题考查的知识要点：利用周期求函数的解析式，三角函数的角的恒等变换，求利用角的范围求函数的值，属于基础题型．