Question

数列{a_n}满足a_n-a_n+1=a_n•a_n+1（n∈N⁺），数列{b_n}满足b_n=

1

an

，且b₁+b₂+…+b₉=90，则b₄•b₅的最大值是

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得

1

an+1

-

1

an

=1，从而数列{b_n}是公差为1的等差数列，由b₁+b₂+…+b₉=90，得b₁=6，从而b₄+b₅=（4+5）+（5+5）=19，由此利用基本不等式能求出b₄•b₅的最大值．

解答： 解：∵a_n-a_n+1=a_n•a_n+1（n∈N⁺），
∴

1

an+1

-

1

an

=1，
∵数列{b_n}满足b_n=

1

an

，
∴数列{b_n}是公差为1的等差数列，
∵b₁+b₂+…+b₉=90，
∴9b1+

9×8

2

×1=90，解得b₁=6，
∴b_n=6+（n-1）×1=n+5，
∴b₄+b₅=（4+5）+（5+5）=19，又b_n＞0，
∴b₄•b₅≤（

b4+b5

2

）²=（

19

2

）²=

361

4

．
故答案为：

361

4

．

点评：本题考查数列中两项积的最大值的求法，是中档题，解题时要注意等差数列的性质和基本不等式的合理运用．