Question

设函数f（x）=e^x-ax+a（a∈R），其图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，且x₁＜x₂．
（1）求a的取值范围；
（2）证明：f′（

x1x2

）＜0（f′（x）为函数f（x）的导函数）；
（3）设点C在函数y=f（x）的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记

x2-1 x1-1

=t，求（a-1）（t-1）的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f（x）=e^x-ax+a，知f′（x）=e^x-a，再由a的符号进行分类讨论，能求出f（x）的单调区间，然后根据交点求出a的取值范围；
（2）由x₁、x₂的关系，求出f′(

x1+x2

2

)＜0，然后再根据f′（x）=e^x-a的单调性，利用不等式的性质，问题得以证明；
（3）利用△ABC为等腰直角三角形的性质，求出y0+

x2-x1

2

=0，然后得到关于参数a的方程at-

a

2

(1+t2)+

1

2

(t2-1)=0，求得问题的答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x-ax+a，
∴f'（x）=e^x-a，
若a≤0，则f'（x）＞0，则函数f（x）是单调增函数，这与题设矛盾．
∴a＞0，令f'（x）=0，则x=lna，
当f'（x）＜0时，x＜lna，f（x）是单调减函数，
当f'（x）＞0时，x＞lna，f（x）是单调增函数，
于是当x=lna时，f（x）取得极小值，
∵函数f（x）=e^x-ax+a（a∈R）的图象与x轴交于两点A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），
∴f（lna）=a（2-lna）＜0，即a＞e²，
此时，存在1＜lna，f（1）=e＞0，
存在3lna＞lna，f（3lna）=a³-3alna+a＞a³-3a²+a＞0，
又由f（x）在（-∞，lna）及（lna，+∞）上的单调性及曲线在R上不间断，
可知a＞e²为所求取值范围．
（2）∵

ex1-ax1+a=0  ex2-ax2+a=0

，
∴两式相减得a=

ex2-ex1

x2-x1

．
记

x2-x1

2

=s(s＞0)，则f′(

x1+x2

2

)=e

x1+x2

2

-

ex2-ex1

x2-x1

=

e x1+x2 2

2s

[2s-(es-e-s)]，
设g（s）=2s-（e^s-e^-s），
则g'（s）=2-（e^s+e^-s）＜0，
∴g（s）是单调减函数，
则有g（s）＜g（0）=0，而

e x1+x2 2

2s

＞0，
∴f′(

x1+x2

2

)＜0．
又f'（x）=e^x-a是单调增函数，且

x1+x2

2

＞

x1x2

∴f′(

x1x2

)＜0．                         
（3）依题意有exi-axi+a=0，则a(xi-1)=exi＞0⇒x_i＞1（i=1，2）．
于是e

x1+x2

2

=a

(x1-1)(x2-1)

，在等腰三角形ABC中，显然C=90°，
∴x0=

x1+x2

2

∈(x1 ，x2)，即y₀=f（x₀）＜0，
由直角三角形斜边的中线性质，可知

x2-x1

2

=-y0，
∴y0+

x2-x1

2

=0，
即e

x1+x2

2

-

a

2

(x1+x2)+a+

x2-x1

2

=0，
∴a

(x1-1)(x2-1)

-

a

2

(x1+x2)+a+

x2-x1

2

=0，
即a

(x1-1)(x2-1)

-

a

2

[(x1-1)+(x2-1)]+

(x2-1)-(x1-1)

2

=0．
∵x₁-1≠0，则a

x2-1 x1-1

-

a

2

(1+

x2-1

x1-1

)+

x2-1 x1-1 -1

2

=0，
又

x2-1 x1-1

=t，
∴at-

a

2

(1+t2)+

1

2

(t2-1)=0，
即a=1+

2

t-1

，
∴（a-1）（t-1）=2．

点评：本题属于难题，考察了分类讨论的思想，转化思想，方程思想，做题要认真仔细，方法要明，过程要严谨，能提高分析问题解决问题的能力．