Question

8．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sinx，cos2x），设函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a-c）•cosB=b•cosC，求f（$\frac{A}{2}$）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由向量的数量积的坐标表示，由二倍角公式和辅助角公式，结合正弦函数的单调增区间，解不等式即可得到所求；
（2）运用正弦定理和两角和的正弦公式及诱导公式，化简可得cosB=$\frac{1}{2}$，求得B=$\frac{π}{3}$，A∈（0，$\frac{2π}{3}$），再由正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
可得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
即有f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
（2）（2a-c）•cosB=b•cosC，
由正弦定理可得，（2sinA-sinC）•cosB=sinB•cosC，
即为2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），
即有2sinAcosB=sinA，
可得cosB=$\frac{1}{2}$（sinA＞0），
由0＜B＜π，可得B=$\frac{π}{3}$，
故A∈（0，$\frac{2π}{3}$），
则f（$\frac{A}{2}$）=2sin（A+$\frac{π}{6}$），且A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
即有sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
故f（$\frac{A}{2}$）的取值范围是（1，2]．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和三角函数的化简，考查正弦函数的单调区间和值域，以及正弦定理的运用，考查运算化简能力，属于中档题．