Question

16．已知函数f（x）=|log₂x|，g（x）=$\frac{1}{2}x$，若对任意x∈[a，+∞），总存在两个x₀∈[$\frac{1}{2}$，4]，使得g（x）•f（x₀）=1，则实数a的取值范围是[2，+∞）．

Answer 1

分析 根据g（x）的值域和g（x）•f（x₀）=1得出f（x₀）的范围，结合f（x）的图象得出f（x₀）的范围解出a．

解答 解：f（x₀）=$\frac{1}{g（x）}$=$\frac{2}{x}$，∵x∈[a，+∞），∴f（x₀）≤$\frac{2}{a}$，
作出f（x）在[$\frac{1}{2}$，4]上的函数图象如图：

∵对任意x∈[a，+∞），总存在两个x₀∈[$\frac{1}{2}$，4]，使得g（x）•f（x₀）=1，
∴0＜$\frac{2}{a}$≤1，解得a≥2．
故答案为[2，+∞）．

点评 本题考查了对数函数的图象与性质，结合函数图象是解题关键．