Question

1．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{c}$|=1，若（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=0，则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的取值范围是（　　）

• A． [1，2]
• B． [2，4]
• C． [$\sqrt{7}$-1，$\sqrt{7}$+1]
• D． [$\sqrt{5}$-1，$\sqrt{5}$+1]

Answer 1

分析 由数量积运算展开，两边再平方，得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的范围，从而得出结论．

解答 解：∵（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=0，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{c}$²=0，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+1=（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{c}$，
∴|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+1|=|（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{c}$|≤|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|，
两边平方得：（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$）²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+1≤${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=10+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
∴-3≤$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$≤3，
∵|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|²=${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=10-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
∴4≤|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|²≤16，
∴2≤|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|≤4．
故选B．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．