Question

19．若S_n是公差不为0的等差数{a_n}的前n项和，且S₁，S₂，S₄成等比例数列．
（Ⅰ）求等数列S₁，S₂，S₄的公比；
（Ⅱ）若S₂=4，设b_n=$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得T_n$＜\frac{m}{20}$对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）S₂=4，可得4a₁=4，解得a₁．可得d．可得a_n=2n-1．可得b_n=$\frac{3}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”可得T_n，再利用“放缩法”、数列的单调性即可得出．

解答 解：（I）设等差数{a_n}的公差为d≠0，
∵S₁，S₂，S₄成等比例数列．
∴${S}_{2}^{2}={S}_{1}•{S}_{4}$，
∴$（2{a}_{1}+d）^{2}$=a₁（4a₁+6d），
化为d=2a₁．
∴$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=$\frac{{a}_{1}+d}{{a}_{1}}$=$\frac{3{a}_{1}}{{a}_{1}}$=3．
∴等比数列S₁，S₂，S₄的公比为3．
（II）∵S₂=4，∴4a₁=4，解得a₁=1．
∴d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴b_n=$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{3}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{3}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{3}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{3n}{2n+1}$，
由T_n$＜\frac{m}{20}$对所有n∈N^*都成立，
则$m＞20×\frac{3n}{2n+1}$=20×$\frac{3}{2+\frac{1}{n}}$＞$20×\frac{3}{2}$=30，
∴使得T_n$＜\frac{m}{20}$对所有n∈N^*都成立的最小正整数m为31．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、“放缩法”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．