Question

2．已知f（x）=|e^x-1|，又g（x）=f²（x）-tf（x）（t∈R），若满足g（x）=-1的x有三个，则t的取值范围是（2，+∞）．

Answer 1

分析 由题意作函数f（x）=|e^x-1|的图象，令m=f（x），由图求出m的范围，代入方程g（x）=-1化简，由条件和图象判断出方程的根的范围，由一元二次方程根的分布问题列出不等式，求出t的取值范围．

解答 解：由题意作函数f（x）=|e^x-1|的图象：
令m=f（x），由图得m≥0，
代入g（x）=f²（x）-tf（x）=-1得，
m²-tm=-1，即m²-tm+1=0，
∵满足g（x）=-1的x有三个，
∴由图得，即m²-tm+1=0有两个根，其中一个在（0，1）中，另外一个在[1，+∞）中，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{0}^{2}-t×0+1＞0}\\{{1}^{2}-t×1+1≤0}\\{△={t}^{2}-4＞0}\end{array}\right.$，解得t＞2，
即t的取值范围是（2，+∞），
故答案为：（2，+∞）．

点评 本题考查方程根的个数问题的转化，一元二次方程根的分布问题，以及换元法的应用，考查数形结合思想，转化思想．